PROPIEDADES PRINCIPALES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

PROPIEDADES PRINCIPALES DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA, VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR.

Esperanza matemática: (también llamada esperanza, valor esperado, media poblacional o media) de una variable aleatoria  X , es el número que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.

Varianza: se define como la esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media.

Desviación Estandar: se define como la raíz cuadrada de la varianza de la variable.

EJEMPLOS:

* (X) Medicamentos vencidos en el Hospital Pedro Emilio Carrillo, mes de Julio de 2014. Valera- Edo Trujillo.

X	0	1	2
P(X=x)	0,19	0,51	0,3

Esperanza matematica (X)

E(X)= Σ X. P(X=X)

E(X)= (0 . 0,19) + (1 . 0,51) + (2 . 0,3)

E(X)= 0 + 0,51 + 0,6 = 1,11                                                                          E(X)= 1,11

Varianza (X)

V(X)= Σ [X-E(X)]² P(X=X)

V(X)= (0 – 1,11)²(0,19) + (1 – 1,11)²(0,51) + (2 – 0,3)²(0,3)

V(X)= 0,2340 + 0,0061 + 0,2376 = 0,4777                                               V(X)= 0,4777

Desviación Estandar

DE(X)= √V(X)

DE(X)=√ 0,4777 = 0,6911                                                                        DE(X)= 0,6911

* (Y) Medicamentos vencidos vencidos en el Hospital Pedro Emilio Carrillo, mes de Agosto de 2014. Valera- Edo Trujillo.

Y	0	1	2
P(X=X)	0,41	0,29	0,3

Esperanza Matematica (Y)

E(Y)= Σ Y. P(X=X)

E(Y)= (0 . 0,41) + (1 . 0,29) + (2 . 0.3)= 

E(Y)= 0 + 0,29 + 0,6= 0,89                                                                        E(Y)= 0,89

Varianza (Y)

V(Y)= Σ [Y-E(Y)]² P(X=X)

V(Y)= (0 – 0,89)²(0,41) + (1 – 0,89)²(0,29) + (2 – 0,89)²(0,3)

V(Y)= 0,3247 + 0,0035 + 0,3696= 0,6978                                                V(Y)= 0,6978

Desviacón estandar

DE(Y)=  √V(Y)

DE(Y)= √0,6978= 0,8353                                                                          DE(Y)=0,8353

Considerando los resultados anteriores conozcamos las propiedades de cada una de ellas:

Propiedades de la Esperanza Matemática.

1)      La esperanza matemática de una constante es igual a esa misma constante:

E(K)= K

E(2)= 2

2)      Linealidad de la Esperanza matemática

-          (Sabiendo que K=constante y X= variable)

E(K . X)= K . E(X)      

E= 2 . 0 + 2 . 0,51 + 2 . 0,6 = 2 . 1,11

E= 0 + 1,02 + 1,2 = 2,22

E= 2,22= 2,22

-          (Si X y Y son valores aleatorios)

E(X + Y)= E(X) + E(Y)

E(X +Y)= 1,11 + 0,89 = 2

Propiedades de la Varianza y Desviación estandar (en ambas se cumplen las mismas propiedades).

1)   V(K)= 0

      V(2)= (2 -2)² . 2

      V(2)= 0

2)  V(K . X)= K² . V(X)

      2 . 0, 2340 + 2 . 0,0061 + 2 . 0,2376 = 2²  . 0,4777

        0,468 + 0,0122 + 0,4752 = 1,9108

                               0,9554 = 1,9108

Así se demuestra que si todos los datos se multiplican por una constante, la varianza queda multiplicada por el cuadrado de la constante.

3)  V(X + Y)= V(X) + V(Y)

         1,1755 = 1,1755